I

Georges Bourbaki

Zur Einleitung vielleicht folgendes: Im Juli/August-Heft 1997 der Zeitschrift "The Sciences", der Hauspostille der New York Academy of Sciences, erschien aus der Feder von Toni Rothmann, einem Mathematikprofessor an der Universität von Texas, ein sehr lesenswerter Artikel, welcher den Titel "Irreverseble Differences" hatte [1]. Darin brachte Rothmann zum Ausdruck, daß die von Ludwig Bolzmann gemachten statistischen Ableitungen thermodynamischer Vorgänge eine mathematische Unmöglichkeit darstellen würden, weil das thermisch irreversible Verhalten von idealen Gasen anhand der Newtonschen Gesetze abgeleitet worden sei, welche zeitlich reversibel formuliert wären.

Den ehemaligen Präsidenten der New York Academy of Sciences, Joel L. Lebowitz müssen diese Ausführungen irgendwie in Rage versetzt haben. Jedenfalls setzte sich derselbe hin und verfaßte einen Leserbrief, in welchem er zum Ausdruck brachte, daß die Publikation dieses abscheulichen Artikels von Rothmann aufgrund seiner Ungenauigkeit und Irreführung sowohl den unvoreingenommenen Lesern als auch der ganzen New York Academy of Sciences gegenüber ein Schande (disgace!) darstelle [2], was dann wiederum zur Folge hatte, daß unmittelbar im Anschluß an diesen Leserbrief die Reaktionsmitglieder der Zeitschrift "The Sciences" sich sehr vehement gegenüber diesen Anschuldigungen verteidigen mußten.

Daß die von Rothmann gemachten Ausführungen jedoch durchaus begründet erscheinen, ergibt sich anhand eines Lehrbuches von David L. Goodstein "States of Matter", New York 1974, welcher darin seinen Studenten folgenden gutgemeinten Ratschlag mit auf den Weg gab [3]: "Ludwig Bolzmann, der einen großen Teil seines Lebens der statistischen Mechanik widmete, starb 1906 von eigener Hand. Paul Ehrenfest, der seine Arbeit fortsetzte, starb 1933 unter ähnlichen Umständen. Nun sind wir an der Reihe, uns der statistischen Mechanik anzunehmen. Vielleicht ist es eine gute Idee, vorsichtig an die Sache heranzugehen."

In diesem Sinn bringt dann auch Ernst Peter Fischer in seinem Buch "Einstein & Co." zum Ausdruck, daß Bolzmann die grundlegenden Probleme einer statistischen Mechanik nicht zu lösen vermochte [4].

Wenn man sich mit der von Rothmann, Goldstein und Fischer angeschnittenen Thematik auseinandersetzt, dann muß man zuerst einmal erkennen, daß in der neueren wissenschaftlichen Literatur die Aktivitäten des Herrn Sir Isaac Newton gelegentlich ziemlich kritisch beurteilt werden. Nicht nur, daß Newton mit seiner Lichtteilchentheorie entsprechend unserem derzeitigen Kenntnisstand vollkommen auf dem falschen Dampfer saß, so ergibt sich darüber hinaus auch noch der Eindruck, daß derselbe sein Gravitationsgesetz von Robert Hooke irgendwie geklaut hatte, weil letzterer anscheinend die Einfältigkeit besessen hatte, dasselbe Newton mitzuteilen [5]. Am Gravierendsten erscheint jedoch der zuerst von Richard Westfall gemachte Vorwurf, daß Newton vorhandene Meßdaten derart manipuliert habe, daß sie mit seinen vorgetragenen Theorien genau übereinstimmten. Westphal führt in diesem Zusammenhang aus, daß der seriöse Newton den Mogelfaktor mit einem ungeahnten Geschick gehandhabt habe [6] [7].

Unter Berücksichtung des Umstandes, daß unsere moderne Physik in vieler Hinsicht auf Newton und seiner Physik aufgebaut und eventuell vorhandene Fehler der Newtonschen Physik demzufolge auch für die verschiedensten Physikbereiche, insbesondere die statistische Thermodynamik und die Teilchenphysik weitreichende Konsequenzen haben, hat sich der Autor somit auf die etwas mühsame Suche gemacht, um innerhalb der Newtonschen Physik gravierende Fehler zu finden, welche unser derzeitiges physikalisches Weltbild negativ beeinflussen könnten.

Ohne Anspruch auf Vollständigkeit stieß der Autor dabei auf drei ganz offensichtliche Fehler, über welche in dem Folgenden ausführlich berichtet werden soll. Es handelt sich dabei um die folgenden Fehler:

1. Die Newtonsche Impulserhaltung stimmt nicht oder allenfalls in erster Näherung. Der Autor stieß auf diesen Fehler bei der Lektüre eines englischsprachigen Artikels, in welchem sich der Hinweis fand, daß die beiden Erhaltungssätze für die kinetische Energie und den Impuls wohl schlecht gleichzeitig gültig sein könnten, was eine Aussage darstellte, die dem Autor sehr einleuchtend erschien. Leider liegt dieser Vorgang bereits so lange zurück, daß für diesen Artikel derzeit keine Literaturangabe gemacht werden kann.

2. Der auf Newton zurückgehende Drehimpulserhaltungssatz besitzt nur unter ganz bestimmten Bedingungen eine Gültigkeit. Auf diese Thematik stieß der Autor bei seinen eigenen Überlegungen, was nämlich mit dem vorhandenen Drehimpuls passiere, wenn ein Hammerwerfer seinen im Kreis herumgewirbelten Hammer plötzlich losläßt.

3. Die in der Natur zu beobachtende zeitliche Irreversibilität ist nicht - wie Ludwig Bolzmann fälschlicherweise glaubte - auf eine statistische Wahrscheinlichkeitsfunktion im Mikrokosmos zurückzuführen, sondern eine inhärente Eigenschaft des Phänomens der Trägheitsmasse selbst. In diesem Sinn darf die Aussage gemacht werden, daß bereits vollelastische Stoßereignisse zwischen zwei Körpern, - abgesehen von ein paar ganz seltenen Ausnahmen -, einer zeitlichen Irreversibilität unterliegen. Der Anstoß für diese Überlegungen bildeten dabei Beobachtungen des Autors bezüglich des Verhaltens von Billiardkugeln auf einem ganz gewöhnlichen Billiardtisch.

II

Die Ungültigkeit der Newtonschen Impulserhaltung

In bezug auf die angebliche Impulserhaltung wird in den zur Verfügung stehenden Physiklehrbüchern ganz generell die Aussage gemacht, daß der gesamte Impuls eines abgeschlossenen, d.h. keinen äußeren Kräften unterworfenen Körpersystems konstant sei. Trete somit an einem Körper infolge einer Wechselwirkung mit anderen Körpern eine Impulsänderung ein, so müßten gleichzeitig an diesen anderen Körpern Impulsänderungen eintreten, deren Summe jener Impulsänderung dem Betrag nach gleich, aber entgegengesetzt gerichtet wäre. Der Impuls P sei dabei ein Vektor, welcher dem Produkt aus m.v entspräche und die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit v aufweise [8].

Figur 1

Unter Bezugnahme auf den Impulserhaltungssatz heißt es, daß bei zwei gleichgroßen Massenkörpern bzw. Stahlkugeln dieselben beim Stoß ihre Geschwindigkeit austauschen würden. Ruhe also vor dem Stoß die eine Stahlkugel, so ruhe nach dem Stoß die andere. Dies ergäbe sich aus dem Energieprinzip und der Impulserhaltung [12].

Entsprechende Ausführungen über das Verhalten von derartigen Kugelstoßgeräten finden sich auch in den Literaturstellen [13] und [14). Interessant ist dabei eine Feststellung am Ende von Artikel [13]: "The result of collision experiments with a linear arrangement of elastic balls cannot be predicted solely from the conservation laws of energy and momentum, if the number of such balls is grater than two", was immerhin als ein Eingeständnis gewertet werden kann, daß irgendetwas mit diesen Energie- und Impulserhaltungssätzen nicht so ganz stimmen kann.

Es erscheint ziemlich naheliegend, daß bei einer Anordnung von gleichgroßen Stahlkugeln gemäß Figur 1 die Frage einer wahlweisen Gültigkeit entweder nur eine Erhaltung der kinetischen Energie oder allein eine Erhaltung des Impulses nicht zu entscheiden ist, weil hier beim Stoß mit gleichgroßen Stahlkugeln beide Größen m und v einer Erhaltung unterliegen, somit jedes beliebige Produkt aus m.v, beispielsweise auch das Produkt m³v⁴ erhalten bleibt, obwohl ganz sicher davon auszugehen ist, daß eine Größe mit der Dimension g³cm⁴s^-4 keinerlei physikalische Bedeutung besitzt.

Aus diesem Grunde baute sich der Autor eine Art von Kaskadenstoßpendel, bei welchem die Durchmesser und die damit die Massenwerte der Stahlkugeln in kleinen Stufen abnehmen.

Figur 2

Dabei bestand von Seiten des Autors die Vermutung, daß bei einem derartigen Kaskadenstoßpendel mit jeweils kleiner werdenden Stahlkugeln eventuell vorhandene kleinere Beobachtungsgenauigkeiten sich über mehrere Stahlkugeln hinweg aufaddieren würden, so daß anhand des Stoßverhaltens der gesamten Anordnung ganz eindeutig entschieden werden kann, ob nun bei einem derartigen Kaskadenstoßpendel die Stoßübertragung entsprechend dem Erhaltungssatz für die kinetische Energie gleich 1/2 mv² oder nach dem Erhaltungssatz für den Impuls gleich der Vektorgleichung m.v erfolgt.

Das betreffende Kaskadenstoßpendel mit etwa 20 verschieden großen Stahlkugeln montierte der Autor in seiner Küche auf und machte damit ausführliche Versuche, deren Resultate in der deutschen Offenlegungsschrift DE 196 32 828 A1 beschrieben sind [15]. (Der Vollständigkeit sei hier noch erwähnt, daß der Fall einer vertikal angeordneten Kette von immer kleiner werdenden Kugeln in der Literaturstelle [16] zur Erörterung gelangt. Da es sich dabei jedoch um eine rein theoretische Arbeit handelt, muß dieselbe als weitgehend wertlos angesehen werden!)

Bei einem Massenverhältnis zwischen der größten und der kleinsten Stahlkugel von etwa 33 ließ sich experimentell eine Geschwindigkeitsvergrößerung der kleinsten Stahlkugel im Vergleich zur Geschwindigkeit der größten Stahlkugel um etwa einen Faktor 5 beobachten, was energetisch betrachtet einem Gesamtwirkungsgrad der Stoßübertragung zwischen 80 und 90 % entspricht. In Anbetracht der vorhandenen Verluste eines derartigen Stoßenergiewandlers in Form von Elastizitätsverlusten, Verlusten durch Massenfehlanpassung, Luftwiderstandsverlusten sowie durch fehlerhafte Aufhängung bedingter Verluste muß dieser angegebene Wert eines Gesamtwirkungsgrades als relativ hoch angesehen werden.

Bei einem derartigen Kaskadenstoßpendel mit gestuften Stahlkugeln, ergibt sich eine Geschwindigkeitszunahme entsprechend der folgenden Tabelle:

Aufgrund des gemessenen Wertes im Bereich von 5 kann somit ganz eindeutig der Schluß gezogen werden, daß zumindest bei derartigen Stoßereignissen mit gestuften Stahlkugeln die Newtonsche Impulserhaltung nicht gilt und daß bei einer erforderlichen Wahl zwischen einer Impulserhaltung und einer Energieerhaltung der letzteren der Vorrang gegeben werden muß.

Bei einem Kaskadenstoßpendel mit einer Stoßtransformation in Richtung kleinerer Stahlkugeln kann die Ungültigkeit des Impulserhaltungssatzes zusätzlich auch noch rechnerisch belegt werden: Bei einem Massenverhältnis von 33 müßte im Fall einer Impulserhaltung die kleinste Stahlkugel mit der 33-fachen Geschwindigkeit davonfliegen. Dies ist jedoch absolut unmöglich, weil die vorhandene kinetische Energie wegen der quadratischen v-Abhängigkeit dazu gar nicht ausreicht. Aus Energieerhaltungsgründen kann die kleinste Stahlkugel somit allenfalls mit einer Geschwindigkeit von ·v, d.h. etwas mehr als der 5-fachen Geschwindigkeit davonfliegen. Eine Ungültigkeit des Impulserhaltungssatzes ergibt sich somit zusätzlich rechnerisch auf der Basis einer Energieerhaltung und dem quadratischen Geschwindigkeitsanstieg der kinetischen Energie.

Für eine Widerlegung des Impulserhaltungssatzes erscheint das beschriebene Kaskadenstoßpendel wohl nur deshalb besonders gut geeignet, weil hier eine ganze Abfolge von einzelnen Stoßereignissen hintereinander stattfinden, wobei es zu einer Aufaddition von bisher nicht beobachteten Meß- oder Beobachtungsungenauigkeiten kommt. Aufgrund dieser Aufaddition ergibt sich somit ein Endresultat, welches ganz eindeutig eine Ungültigkeit des Impulserhaltungssatzes erkennen läßt.

Das beschriebene Kaskadenstoßpendel hat übrigens noch eine weitere recht merkwürdige Eigenschaft: Während eine Stoßtransformation von großen Stahlkugeln in Richtung kleinerer Stahlkugeln relativ komplikationslos erfolgt, erscheint eine Stoßtransformation in der entgegengesetzten Richtung nur sehr schlecht durchführbar zu sein, so daß das betreffende Kaskadenstoßpendel eine gerichtete Stoßtransfercharakteristik zu besitzen scheint. Der tiefere Grund für dieses nicht so ganz erwartete Verhalten ist dabei der, daß bei Stoßereignissen in Richtung kleinerer Stahlkugeln eine zwangsweise Mitnahme der kleineren Stahlkugeln erfolgt, während in entgegengesetzter Richtung eine zwangsweise Mitnahme größerer Stahlkugeln durch kleinere Stahlkugeln nicht möglich erscheint. Anhand dieses ziemlich offensichtlichen Umstandes einer Stoßassymetrie zwischen größeren und kleineren Stahlkugeln ist somit ebenfalls erkennbar, daß dieses Newtonsche Konzept einer Impulserhaltung mit Fehlern behaftet sein muß, weil die bekannten Stoßgesetze nicht zwischen Stoßereignissen von größeren Massen auf kleinere Massen und von kleineren Massen auf größere Massen unterscheiden.

Dies läßt sich auch auf experimentellem Wege sehr gut belegen. Wenn man nämlich das Stoßverhalten zwischen zwei Stahlkugeln untersucht, von denen die eine beispielsweise die zehnfache Masse im Vergleich zu der anderen besitzt, dann ergibt sich folgendes:

- Stößt die größere Stahlkugel mit einer Geschwindigkeit v gegen eine ursprünglich stationäre kleinere Stahlkugel, dann wird die kleinere Stahlkugel sehr schnell auf die Geschwindigkeit der größeren Stahlkugel beschleunigt, so daß sie die Geschwindigkeit v erhält. Sie besitzt demzufolge eine kinetische Energie entsprechend 1/2 mv². Aufgrund des Prinzips "actio gleich reatio" entsteht jedoch gleichzeitig zwischen den beiden Stahlkugeln eine elastische Eindellung, in welcher die gleiche Energiemenge eingespeichert wird. Mit dieser zusätzlichen Energiemenge kann sich die kleinere Stahlkugel nunmehr noch von der größeren Stahlkugel abstoßen, so daß ihr letztlich die doppelte Menge an kinetischer Energie zur Verfügung steht. Wegen der quadratischen v-Abhängigkeit fliegt dieselbe somit mit einem Wert ·v, d.h. in etwa der 1,4-fachen Geschwindigkeit davon, was mit den experimentellen Befunden ziemlich genau übereinstimmt. Da die kleinere Stahlkugel jedoch nur 10 % der Masse der größeren Stahlkugel aufweist, bedeutet dies im Endeffekt, daß bei einem derartigen Stoßvorgang die kleinere Stahlkugel in etwa 14 % der kinetischen Energie von der größeren Stahlkugel übernimmt.

- Anders ist die Situation, wenn die kleinere Stahlkugel mit der Geschwindigkeit v auf die größere aufprallt. Eigentlich würde man dabei symmetrische Bedingungen erwarten. Dies ist jedoch keineswegs der Fall. Der Kollisionsvorgang läuft dabei anfänglich ganz normal ab, indem die gesamte kinetische Energie der kleineren Stahlkugel in einer elastischen Eindellung zwischen den beiden Stahlkugeln zur Einspeicherung gelangt. Dann aber passiert etwas recht merkwürditges: Da das elastische Einschwingverhalten der kleineren Stahlkugel sehr viel rascher als das der größeren Kugel abläuft, wird praktisch die gesamte kinetische Energie erneut an die kleinere Stahlkugel zurückgeliefert, bevor die größere Stahlkugel überhaupt Zeit hatte, von dem Kollisionsvorgang Notiz zu nehmen. Die Folge davon ist, daß die kleinere Stahlkugel mit praktisch der gesamten kinetischen Energie wieder von dannen zieht, während die größere Stahlkugel eine Energiemenge erhält, welche bei einem Massenverhältnis von 1:10 entsprechend den Beobachtungen des Autors allenfalls 1 bis 2 % der Gesamtenergie beträgt.

Tabellarisch ergibt sich dabei die folgende Situation:

Figur 3

Figur 4

Die obige Figur zeigt dabei zwei Eisenkugeln 1 und 2, welche entlang eines horizontal gelagerten Aluminiumrohres 3 verschiebbar gelagert sind. Im mittleren Bereich des horizontalen Rohres 3 ist ein vertikal nach unten führendes Rohr 4 befestigt, welches unter dem Einsatz von nicht-dargestellten Kugellagern in einem konzentrisch dazu angeordneten Rohr 5 größeren Durchmessers drehbar gelagert ist. An diesem Rohr 5 ist seitlich ein Blech 6 festgeschweißt, welches mittels einer Schraubzwinge an einer Tischplatte festklemmbar ist. Von den beiden Eisenkugeln 1 und 2 führen Seilzüge 7 zu einer oberhalb des Rohres 4 angeordneten Buchse, von wo aus die beiden Seilzüge 7 durch das drehbar gelagerte Rohr 4 nach unten zu einem Torsionsgelenk 8 führen, welches eine gegenseitige Verdrehung der beiden Seilzüge 7 verhindert. (Derartige Torsionsgelenke 8 sind dabei in Spezialgeschäften für Sportfischerei sehr leicht erhältlich!) Von diesem Torsionsgelenk 8 führt ein weiterer Seilzug 9 über eine Umlenkrolle 8 zu einer Stelle, von welcher aus die beiden Eisenkugeln 1 und 2 bei einer Rotation der gesamten Anordnung gegen die an den Eisenkugeln 1 und 2 angreifenden Fliehkräfte nach innen gezogen werden können.

Im Rahmen von durchgeführten Versuchen konnte dabei folgendes festgestellt werden:

1. Es ist in der Tat so, daß im Zustand einer Rotation der Eisenkugeln 1 und 2 und gleichzeitigem Zug an dem Seilzug 9 eine entsprechende Erhöhung der Rotationsgeschwindigkeit des horizontalen Rohres 3 mit seinen beiden Eisenkugeln 1 und 2 zu beobachten ist. Der stattfindende Anstieg der Umfangsgeschwindigkeit v liegt dabei etwas unterhalb des von dem Drehimpulserhaltungssatz postulierten Wert, was jedoch durch die vorhandenen Reibungsverluste des Systems bedingt sein muß.

2. Da eine radiale Verstellung der beiden Eisenkugeln 1, 2 über den Seilzug 9 in beliebiger Weise erfolgen kann, ist erkennbar, daß dieser Drehimpulserhaltungssatz bzw. das zweite Keplersche Gesetz nicht nur für Kreis- und eliptische Bahnkurven, sondern ganz generell für Bahnkurven beliebiger Auslegung gilt.

3. Im Rahmen einer Zugbeaufschlagung des Seilzuges 9 ist ganz eindeutig erkennbar, daß im Hinblick auf die Überwindung der an den beiden Eisenkugeln 1 und 2 angreifenden Zentrifugalkräfte Arbeit geleistet werden muß, was als "Zentrifugalarbeit" zu bezeichnen wäre.

4. Da bei einem Zug an dem Seilzug 9 die beiden entlang des horizontalen Rohres 3 verschiebbaren und zusätzlich rotierenden Eisenkugeln 1 und 2 sich zwangsläufig entlang einer spiralförmig ausgelegten virtuellen Bahn bewegen, ist ferner erkennbar, wie mit Hilfe einer in radialer Richtung wirkenden Zugkraft über die Schrägung dieser virtuellen Spiralbahn hinweg auf die beiden Eisenkugeln 1 und 2 in tangentialer Richtung wirkende Beschleunigungskräfte ausgeübt werden können. Die vorhandene Schrägung der virtuellen Spiralbahn der beiden Eisenkugeln 1 und 2 ist dabei umso größer, je rascher die Zugbewegung entlang des Seilzuges 9 durchgeführt wird.

5. Wenn aus einer Position der beiden Eisenkugeln 1 und 2 im Nabenbereich der rotierenden Anordnung heraus der Seilzug 9 abrupt losgelassen wird, dann rutschen die beiden Eisenkugeln 1 und 2 in Analogie zu dem Fall des Hammerwerfers sehr rasch entlang des horizontalen Rohres 3 nach außen. Die rotierende Anordnung gelangt dabei im wesentlichen zum Stillstand, weil von diesem Zeitpunkt an die an den Eisenkugeln 1 und 2 angreifenden Zentrifugalkräfte spontan verschwinden, was eine Kraftumsetzung entlang einer spiralförmigen virtuellen Bahn unmöglich macht.

6. Bei der Definition des Drehimpulses wird in den Physiklehrbüchern vielfach der Hinweis auf ein nur inneren Kräften ausgesetztes System gemacht. Diese Aussage erweist sich insoweit als recht problematisch, weil bei der in Figur 4 dargestellten Anordnung ein von außen her zu betätigender Seilzug 9 vorhanden ist, wobei es allein im Ermessen des Experimentators liegt, welche Länge er diesem Seilzug 9 gibt. Man erkennt somit, daß der Ausdruck "innere Kräfte" zumindest etwas schlampig gewählt zu sein scheint.

S ist dabei die Entropie, k die Bolzmann-Konstante mit ihrem Zahlenwert von 1,380.10-16erg grad^-1 und W eine thermodynamische Wahrscheinlichkeit, wobei letztere der Anzahl von Komplexionen entsprechen soll, durch welche ein bestimmter thermodynamischer Zustand verwirklicht wird.

Unter Berufung auf die oben genannte Gleichung von Ludwig Bolzmann werden in den vorhandenen Physiklehrbüchern Aussagen der folgenden Art gemacht: "Der zweite Hauptsatz besagt, daß bei allen in der Natur vorkommenden Vorgängen die thermodynamische Wahrscheinlichkeit des Zustandes, also auch die Entropie des an dem Vorgange beteiligten Körpersystems zunimmt, höchstens im Grenzfalle konstant bleibt... Daher muß in der Natur die allgemeine Tendenz herrschen, daß geordnete Zustände von selbst in ungeordnete Zustände übergehen" [21].

Die in diesem Zusammenhang gemachten Ausführungen müssen jedoch als höchst fragwürdig angesehen werden, in welchem Zusammenhang auf die folgenden zwei Punkte hingewiesen werden kann:

1. In der oben genannten Wahrscheinlichkeitsgleichung von Bolzmann taucht eine Kontante k mit dem Zahlenwert von 1,380.10^-16 und der Dimension erg grad^-1 auf. Fragt sich dabei nur, was eine derartige Konstante in dieser Gleichung zu suchen hat? Bei einigem Nachdenken ist jedoch sehr schnell erkennbar, daß diese Bolzmannsche Wahrscheinlichkeit W bzw. der natürliche Logarithmus davon notgedrungenermaßen eine dimensionslose Größe darstellt, während die Entropie S eine dimensionsbehaftete Größe mit der Dimension erg grad^-1 ist. Für den erforderlichen Dimensionsabgleich mußte somit zwangsläufig eine Konstante mit ebensolcher Dimension gefunden werden, wobei der Zahlenwert dieser Konstanten k vollkommen belanglos erscheint. Fragt sich somit nur, was ist das für eine Physik, bei welcher sogenannte Naturkonstanten nur deshalb in Gleichungen eingeführt werden, damit bei einer vorgenommenen Dimensionskontrolle die Dimensionen stimmen? (Etwas bösartiger könnte man auch sagen, die Wahrscheinlichkeit eines Flugzeugabsturzes wird nicht dadurch verbessert, indem man sie mit einer Größe multipliziert, welche eine Zahl wie 10^-16 enthält!)

2. Die Berechnung der Größe der Entropie S eines Systems erfolgt bekanntlich unter Einsatz einer Formel, bei welcher zuerst die gemittelte spezifische Wärme c_p eines Körpers durch die absolute Temperatur T dividiert wird, worauf über einen bestimmtem Temperaturbereich T₁ bis T₂ hinweg eine Integration dieses Ausdrucks c_p/T erfolgt. Dabei muß man sich natürlich fragen, was ist der tiefere Sinn einer derartigen Maßnahme? Bei einigem Nachdenken kommt man jedoch sehr schnell darauf: Die spezifische Wärme von Körpern hat gelegentlich einen ziemlich willkürlichen Verlauf mit Werten, welche mit der Temperatur sowohl ansteigen als auch abfallen können. Durch eine Division durch die absolute Temperatur T und eine anschließende Integration über einen vorgegebenen Temperaturbereich kann somit künstlich eine Größe geschaffen werden, welche unabhängig des Verlaufs von c_p mit der Temperatur immer nur monoton ansteigt. Dabei stellt sich jedoch die Frage, ist eine derartige Maßnahme physikalisch sinnvoll? Zur Erläuterung folgendes Beispiel: Die Temperatur in Bodennähe auf unserer Erde besitzt bekanntlich über den Tag und die Nacht hinweg einen kontinuierlich an- und abfallenden Kurvenverlauf. Wenn man nun diese Temperaturwerte durch einen absoluten Zeitwert t₀ dividiert und in der Folge über ein vorgegebenes Zeitintervall zwischen t₁ und t₂ erneut integriert, dann erhält man ganz zwangsläufig eine Größe, welche die Dimension °C besitzt, jedoch im Gegensatz zur Wirklichkeit mit der Zeit immer nur monoton ansteigt. Die physikalische Bedeutung einer auf diese Weise manipulierten Größe muß somit in sehr starkem Maße in Zweifel gestellt werden.

Unter den gegebenen Umständen muß man sich dann natürlich die Frage stellen, ob die Entropie S überhaupt eine geeignete Größe darstellt, um die Irreversibilität von thermodynamischen Vorgängen festlegen zu können. Daß eine derartige Fragestellung durchaus ihre Berechtigung besitzt, ergibt sich anhand einer Aussage des Mathematikers Johann von Neumann, welcher sich in seinen Vorlesungen dahingehend geäußert hatte, daß dieser Begriff der Entropie als Debatiergegenstand fabelhaft gut geeignet wäre, weil niemand so recht wisse, was die Entropie eigentlich sei [22].

Was diesen Begriff der Entropie zusätzlich noch sehr problematisch erscheinen läßt, ist der Umstand, daß es trotz des vielen Lobes in der Brockhaus-Enzyklopädie "Einer der wichtigsten Grundbegriffe der Physik" keine Meßapparatur gibt, mit welcher eventuell auftretende Zunahmen oder Abnahmen der Entropie unmittelbar gemessen werden können. Berechnungen der Entropie arten jedoch vielfach in kleinere Doktorarbeitan aus, weil dabei mehrmalige Integrale gelöst werden müssen, wobei es sich als besonders nachteilig erweist, daß die erforderlichen Integrationen nur schrittweise durchgeführt werden können, weil sie spezifische Wärme von Körpern in Abhängigkeit der Temperatur vielfach einen ziemlich willkürlichen Verlauf zeigt, was eine rigorose Lösung der auftretenden Integrale unmöglich macht. Neben einem erheblichen Rechenaufwand bedingen derartige schrittweisen Ingegrationen zusätzlich gewisse Integrationsfehler, was natürlich die Beschäftigung mit dieser Materie noch zusätzlich unangenehm macht. Dies führt am Ende dazu, daß eine Zu- oder Abnahme der Entropie vielfach nur behauptet wird, ohne daß im einzelnen nachgeprüft werden kann, ob eine derartige Behauptung in der Tat auch stimmt.

Nachdem der Autor diese ganze Problematik erkannt hatte, machte er sich auf die Suche. Dabei kam ihm zur Hilfe, daß dieser Begriff der Entropie S sich nur durch eine fehlende Massennormierung dimensionsmäßig von der spezifischen Wärme c_p eines Körpers unterscheidet. Zusätzlich war ihm dann noch bewußt, daß die spezifische Wärme c_p von bestimmten Materialien in gewissen Temperaturbereichen in einer etwas überraschenden Art und Weise auch abfallen kann. Dies führte ihn dann zu der Auffassung, daß die Entropie S eines geschlossenen Systems beim thermischen Kontakt von einer kalten und einer warmen Komponente gelegentlich auch ziemlich regelwidrig abnehmen kann, was dann natürlich diesem so schönen Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik - zumindest in der Form einer zeitlich immer nur zunehmenden Entropie - den Todesstoß versetzen müßte.

Figur 5

Wenn man nun innerhalb dieses Temperaturbereiches gleiche Mengen einer heißeren und einer kälteren Komponente zusammenschüttet, dann kann mit Sicherheit die Aussage gemacht werden, daß die sich einstellende Ausgleichstemperatur T_a etwas unterhalb der mittleren Temperatur T_m liegen muß, weil die kältere Komponente wegen ihrer höheren spezifischen Wärme sich gegenüber der wärmeren Komponente stärker durchsetzen kann. T_m ist dabei der Mittelwert der beiden Temperaturen T₁ und T₂, wobei T₁ und T₂ den Temperaturen der beiden Komponenten vor ihrer Vermischung sind.

Was nun die Entropie S betrifft, so berechnet sich dieselbe bekanntlich nach der Formel:

Die Integrierung erfolgt dabei über den Ausdruck c_p/T, welcher weitgehend dem Kurvenverlauf von c_p folgt. Da dieser Ausdruck c_p/T niemals negative Werte annehmen kann, ergibt sich im Rahmen der Integration für die Entropie S ein mit der Temperatur monoton ansteigender Kurvenverlauf.

Im Normalfall, d.h. bei c_p-Werten, welche mit der Temperatur kontinuierlich ansteigen, liegt die Ausgleichstemperatur T_a bei einem thermischen System mit zwei unterschiedlichen heißen Komponenten jeweils oberhalb der mittleren Temperatur T_m, so daß bei einem Temperaturausgleich die Entropie S erwartungsgemäß ansteigt.

Bei einem thermodynamischen System mit abfallenden c_p-Werten ist dies jedoch nur noch bedingt der Fall. Um dies zu belegen, suche man sich innerhalb des betreffenden Temperaturbereiches,- d.h. bei dem gewählten Beispiel von flüssigen Eisen zwischen 1050 und 1150°K - einen Unterbereich, bei welchem die nach der angegebenen Formel berechnete Entropie im wesentlichen linear ansteigt. (Bei einer monoton ansteigenden Kurve dürfte dies keine Schwierigkeiten bereiten!). Auch innerhalb dieses enger gewählten Unterbereiches müßte dabei gelten, daß die Ausgleichstemperatur T_a unterhalb der mittleren Temperatur T_m zu liegen gelangt. Da auch im Fall abfallender c_p-Werte die Entropie S weiterhin monoton ansteigt, bedeutet dies nunmehr jedoch einen Abfall der sich einstellenden Gesamtentropie S gegenüber dem ursprünglichen Entropiewert der beiden Einzelkomponenten. (Der lineare Anstieg der Entropie S innerhalb des genannten Temperaturbereiches erlaubt dabei, daß anstelle der Summe der beiden Entropiewerte bei den Temperaturen T₁ und T₂ der Gesamt-entropiewert bei der mittleren Temperatur T_m gesetzt wird!) Dieser unerwartete Abfall der Entropie bedeutet dann allerdings eine Widerlegung bzw. Durchbrechung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, was aufgezeigt werden sollte.

Ein Abfall der spezifischen Wärme c_p mit der Temperatur T zeigen im übrigen auch andere Materialien wie Kobalt, Nickel, Schwefel, Wasser sowie Quecksilber. Bezüglich weiterer Einzelheiten zu diesem Thema siehe die Literaturstelle [24].

Wenn man nunmehr nach den wahren Ursachen einer in der Natur zu beobachtenden Irreversibilität von Vorgängen sucht und dabei unter Berücksichtigung der bereits eingangs erwähnten Ausführungen von Tony Rothmann [1] ganz besonders die Newtonsche Mechanik mit ihren zeitlich reversibel formulierten Gesetzmäßigkeiten im Auge behält, dann stellt man fest, daß bereits ganz einfache elastische Stoßprozesse zwischen zwei Körpern, so wie sie auf jedem Billardtisch beobachtet werden können, als zeitlich irreversibel angesehen werden müssen. Aus Einfachheitsgründen betrachte man dabei nur jene Fälle, bei welchen sich vor dem Kollisionsereignis einer der beiden Körper in Ruhe befindet. Dabei müssen zwei getrennte Fälle betrachtet werden:

Fall 1: Die beiden Kugeln haben unterschiedliche Massenwerte. In diesem Fall kann ganz generell die Aussage gemacht werden, daß nach dem Kollisionsereignis beide Massenkörper sich unter allen Umständen in Bewegung befinden, was im Vergleich zu der Ausgangssituation mit nur einem einzigen bewegten Massenkörper ganz eindeutig einen Zeitpfeil erkennen läßt.

Fall 2: Die beiden Kugeln haben dieselben Massenwerte. Auch in diesem Fall ergibt sich ein zeitlich irreversibler Kollisionsablauf, solange die Kollisionen außermittig erfolgen. Allein in einem einzigen Ausnahmefall, d.h. bei einem genau mittigen Kollisionsereignis findet ein zeitlich reversibler Kollisionsablauf statt. Da in der Natur jedoch gleiche Massenwerte von Körpern und absolut mittige Aufprallbedingungen praktisch niemals oder höchst selten gleichzeitig auftreten, kann auch in diesem zweiten Fall die Aussage gemacht werden, daß hier in der weitaus überwiegenden Mehrheit aller möglichen Kollisionsereignisse auftretende Stoßprozesse in einer irreversiblen Art und Weise zum Ablauf gelangen.

Wenn man sich nunmehr die Frage stellt, warum ganz einfache elastische Stoßvorgänge zwischen zwei Körpern bereits eine zeitliche Irreversibilität erkennen lassen, dann erkennt man, daß die kinetische Energie eines Körpers einen quadratischen Anstieg mit der Geschwindigkeit aufweist. Aus diesem Grunde wird von Seiten des Autors vermutet, daß wegen dieses nichtlinearen energetischen Anstiegs ganz generell die Tendenz besteht, daß es bei Kollisionsvorgängen zu einer Neuaufteilung der mitgeführten kinetischen Energie kommt. Die dabei zu beobachtende zeitlich Asymmetrie ist dabei nicht, wie bisher angenommen, statistisch bedingt, sondern eine inhärente Eigenschaft des Phänomens der Trägheitsmasse selbst, welche gerade im Fall von Zweierkollisionen zwischen einem bewegten und einem unbewegten Kollisionspartner eine ganz allgemein erkennbare zeitliche Irreversibilität erkennen läßt.

V

"Der Herr Professor Bürger und die Zeitschrift Bild der Wissenschaft"

Aus einer zufälligen Konstellation heraus erschien zeitlich synchron mit der Ausarbeitung dieses Artikel in der Zeitschrift "Bild der Wissenschaft" ein Artikel von einem Professor Wolfgang Bürger der Universität Karlsruhe, welcher den Titel "Klick-Klack. Das Geheimnis der schwingenden Stahlkugeln" hatte [23]. Darin wird die Funktionsweise eines mit gleichgroßen Stahlkugeln versehenen Stoßpendels beschrieben:

Figur 6

In diesem Artikel heißt es dann u.a., daß nach dem Zusammenstoß das Prinzip der Impulserhaltung mU = mv₁ + mv₂ gelte.

In einem an die Zeitschrift "Bild der Wissenschaft" mit Datum vom 28. Oktober 1997 gerichteten Schreiben brachte der Autor daraufhin zum Ausdruck, daß diese sogenannte Impulserhaltung ein Fehler sei, welcher seinerzeit durch Newton in die Physik hineingebracht worden wäre. Dabei werde von Seiten des Autors allerdings zugegeben, daß es wie im Fall der sogenannten Raketengleichung auch Situationen gäbe, bei welchen nach außen hin so etwas ähnliches wie eine Impulserhaltung auftrete. Unter Hinweis auf die bereits erwähnte deutsche Offenlegungsschrift [15] und eine mit unterschiedlichen Massenwerten versehene Kaskadenstoßpendelanordnung in der Küche des Autors wurde zudem darauf hingewiesen, daß bei derartigen Kaskadenstoßpendeln ganz offensichtlich keine Impulserhaltung eintrete, weil im wesentlichen die gesamte Stoßenergie von der großen Stahlkugel über die dazwischenliegenden mittleren Stahlkugeln hinweg in die kleinste Stahlkugel hineintransformiert werde. Im übrigen könne das betreffende Kaskadenstoßpendel mit den gestuften Metallkugeln ohne weiteres in der Küche des Autors besichtigt und mit demselben herumexperimentiert werden.

Dies führte zu einem Schreiben eines Herrn Wolfgang Knapp der Zeitschrift "Bild der Wissenschaft" mit Datum vom 10. November 1997 und der gleichzeitigen Zusendung eines Auszugs aus einem allgemeinen Physiklehrbuch, in welchem auf das Newtonsche Prinzip "actio gleich reactio" eingegangen wird, worauf mehr oder weniger übergangslos eine Verallgemeinerung in Richtung des Newtonschen Impulserhaltungssatzes erfolgte. In dem Schreiben selbst wurde ferner zum Ausdruck gebracht, daß der Briefschreiber, d.h. der Herr Knapp nicht ein kompetenter Richter sei, um darüber zu entscheiden, ob Zigtausende von Physikern seit Newton recht hätten oder der Briefschreiber. Auf die Einladung des Autors, mit dem Kaskadenstoßpendel in seiner Küche Experimente durchzuführen, wurde jedoch leider nicht eingegangen.

Mit Datum vom 11. November 1997 erhielt der Autor dann noch ein weiteres, durchaus freundlich gehaltenes Schreiben des Herrn Prof. Bürger von der Universität Karlsruhe, in welchem zum Ausdruck gebracht wurde, daß es sehr große Freude bereite, wenn man sich kritisch mit der Newtonschen Mechanik auseinandersetze, indem die Gesetze der Klassischen Mechanik unter Einsatz eines Kaskadenstoßpendels in der Küche überprüft werden, wo doch Küchen erwiesenermaßen als wissenschaftliches Laboratorium ganz unübertroffen seien. In der Sache selbst wurde von Prof. Bürger zugestanden, daß eine größere Kugel einer kleineren durch Stoß eine höchstens um einen Faktor 2 größere Geschwindigkeit erteilen könne. (Korrekt wäre aus der Sicht des Autors allerdings nur ein Wert von - siehe Kapitel über die Impulserhaltung!)

Problematisch werden dann die Ausführungen des Herrn Professors, wenn es heißt, daß eine Energieerhaltung nur annähernd erfüllt sein könne. Professor Bürger geht anscheinend davon aus, daß ein Teil der vorhandenen kinetischen Energie irgendwie verschwinde bzw. durch Wellenausbreitungsvorgänge verlorenginge. Dies muß natürlich als ein reiner Blödsinn angesehen werden, weil, wie bereits erwähnt, eine Impulserhaltung nicht ein Weniger, sondern ein Mehr an kinetischer Energie erfordert. In der Folge brachte der Herr Professor zum Ausdruck, daß die größere Kugel nach dem Stoß eine entsprechende Menge von Impuls verliere, den die kleinere Kugel dabei an Impuls gewinne. In einem Nebensatz wird dann allerdings darauf hingewiesen, daß die Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes dabei vorausgesetzt werde. Dies aber ist gerade die Krux der ganzen Angelegenheit: Eine derartige Annahme einer Impulserhaltung darf gar nicht gemacht werden!

Dieses Problem eines Stoßimpulswandlers mit ungleichen Stahlkugeln muß den Herrn Professor Bürger jedoch nicht so recht schlafen gelassen haben. Jedenfalls erschien im Mai-Heft 1998 der Zeitschrift "Bild der Wissenschaft" ein weiterer Artikel von Professor Bürger, in welchem auf diese Thematik von Stahlkugeln mit unterschiedlichen Massenwerten eingegangen wird [26]. Darin wird allerdings nur der vereinfachte Fall eines Stoßpendels mit zwei ungleichen Massenkörpern behandelt:

Figur 7

In dem Artikel selbst wird u.a. ausgeführt, daß nach dem Stoß der Satz der Impulserhaltung MV + mv = NV₀ + mv₀ = p₀ gelte. Die Groß- und Kleinbuchstaben sollen dabei die Massen- und Geschwindigkeitswerte der großen und der kleinen Kugel bezeichnen, während der Index 0 den Zustand vor dem Stoß wiedergibt.

In der Folge werden von Professor Bürger Stoßvorgänge von metallischen Zylindern beschrieben, bei welchen der Herr Professor möglicherweise zu seiner eigenen Überraschung feststellen mußte, daß sie im Vergleich zu Kollisionsvorgängen mit Kugeln in einer anderen Weise zum Ablaufen gelangen. (Dieser Umstand, daß bei elastischen Stoßvorgängen zusätzlich auch noch die räumliche Geometrie der Kollisionskörper eine Rolle spielt, war dem Autor bis zu diesem Zeitpunkt noch gar nicht aufgefallen!) Jedenfalls heißt es dann wörtlich gegen Ende dieses Artikels: "Erstaunlicherweise bleibt der kurze Zylinder beim Stoß an der Stelle stehen, während sich der lange Zylinder mit deutlich geringerer Geschwindigkeit in Bewegung setzt."

VI

Zusammenfassung

Zusammenfassend lassen sich aus der beschriebenen Thematik heraus die folgenden Schlußfolgerungen ziehen:

I. In bezug auf die Newtonsche Mechanik

1. Die Newtonsche Mechanik ist hinsichtlich des Ablaufs von elastischen Stoßprozessen fehlerhaft.

2. Eine von Newton behauptete Impulserhaltung gilt nicht oder nur in ganz besonderen Fällen, beispielsweise beim gegenseitigen Abstoßen von Körpern im Rahmen der Raketengleichung.

3. Die wahren Stoßgesetze zwischen elastischen Körpern sind bis zum heutigen Tage unbekannt. Dabei dürfte es unbestreitbar sein, daß sie innerhalb einer Vakuumkammer mit freihängenden Stoßkörpern und unter Einsatz von entsprechenden Geschwindigkeitsmeßgeräten sehr leicht ermittelt werden könnten!

4. Die Drehimpulserhaltung ist kein allgemein gültiges Naturgesetz, sondern ein verdeckter Energieerhaltungssatz, bei welchem im Fall einer Radiusveränderung die zu leistende Zentrifugalarbeit berücksichtigt wird. Das Gesetz einer Drehimpulserhaltung bricht im übrigen sofort in sich zusammen, sobald bei einem rotierenden System die vorhandenen Zentrifugalkräfte spontan verschwinden.

5. Die Irreversibilität von Vorgängen in der Natur muß auf elastische Stoßvorgänge zurückgeführt werden, wobei eine derartige Irreversibilität vor allem dann in Erscheinung tritt

- wenn außermittige Kollisionen auftreten,

- wenn ein Massenkörper größerer Masse auf einen Massenkörper kleinerer Masse aufprallt und es dabei zu einer zwangsweisen Mitnahme des kleineren Massenkörpers kommt, und

- wenn die aufeinanderprallenden Massenkörper eine von der Kugelform stark abweichende räumliche Konfiguration besitzen. (Die letztere Erkenntnis verdankt der Autor, wie bereits erwähnt, dem Herrn Prof. Bürger aus Karlsruhe!)

II. In bezug auf die Thermodynamik

1. Die Entropie ist kein geeignetes Maß für die Irreversibilität von thermodynamischen Vorgängen.

2. Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik bedarf einer Revision. (Sinnvoll erscheint eine Aussage der Art, daß die Wärmeflüsse bzw. Temperaturdifferenzen innerhalb eines geschlossenen Systems mit der Zeit immer nur abnehmen!)

3. Die Irreversibilität von thermodynamischen Vorgängen ist auf das Stoßverhalten zwischen zwei Körpern bei außermittigem Aufprall und/oder mit unterschiedlichen Massenwerten zurückzuführen.

4. Die derzeit als richtig angesehene Geschwindigkeitsverteilung von Molekülen innerhalb von Gasen oder Gasgemischen, d.h. die sogenannte Bolzmannverteilung muß mit Fehlern behaftet sein, weil Bolzmann bei seinen Berechnungen von einer fehlerhaften Newtonschen Mechanik ausgegangen war. (Eine Vorrichtung zur genauen Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung in Gasen ist in [27] beschrieben!)

III. In bezug auf die Teilchenphysik

Da die heutzutage betriebene Teilchenphysik beispielsweise bei der DESY in Hamburg oder beim CERN in Genf vor allem auf der Basis von Stoßprozessen erfolgt, indem irgendwelche Teilchen sehr stark beschleunigt und anschließend mit anderen Teilchenstrukturen zur Kollision gebracht werden, worauf eine Auswertung der räumlichen Verteilung, der Geschwindigkeiten und/oder der Häufigkeit des Auftretens von Kollisionsfragmenten erfolgt, und da bei all diesen Auswertungen mehr oder weniger unbesehen die Newtonsche Mechanik zum Einsatz gelangt, welche entsprechend den obigen Ausführungen sich als fehlerhaft erweist, muß davon ausgegangen werden, daß ein Großteil der Auswertungen an Beschleunigeranlagen ebenfalls mit entsprechenden Fehlern behaftet ist.

Die Größe der auftretenden Fehler bei derartigen Berechnungen kann jedoch erst dann in etwa korrekt abgeschätzt werden, wenn die wahren Stoßgesetze zwischen elastischen Körpern tatsächlich ermittelt worden sind, worauf die auftretenden Abweichungen gegenüber der Newtonschen Mechanik und ihren Gesetzmäßigkeiten bestimmt werden konnten.

Als etwas irritierend erweist sich dabei die Erkenntnis, daß die derzeit in Betrieb befindlichen Teilchenbeschleunigeranlagen bei der DESY und beim CERN nur mit gewaltigen Kosten in der Größenordnung von hunderten Millionen Mark pro Jahr an Steuergeldern in Betrieb gehalten werden können, wobei es derzeit vollkommen offen ist, ob die mit erheblichen finanziellem Aufwand ermittelten Daten überhaupt einen Wert besitzen.

München, November 1998

Quellennachweis

[1] Tony Rothmann "Irreversible Differences", in The Sciences, New York, Jul./Aug. 1997, S. 26-31.

[2] Joel L. Lebowitz "The Arrow of Time", in The Sciences, New York, Jan./Feb. 1998, S. 47/48.

[3] D. L. Goodstein "States of Matter", N.Y. 1974.

[4] Ernst Peter Fischer "Einstein & Co.", Piper 1955, S. 62.

[5] Fedrico Di Trocchio "Der Große Schwindel. Betrug und Fäschung in der Wissenschaft", Campus-Verlag 1994, S. 29.

[6] Richard S. Westfall "Newton and the Fudge Factor", in Science 179, S. 751-758, 1973.

[7] William Broad und Nicolas Wade "Betrug und Täuschung in der Wissenschaft", Birkhäuser Verlag 1984, S. 29.

[8] Wilhelm H. Westphal "Physik", Berlin 1953, S. 38/39.

[9] Siehe beispielsweise Isaac Newton "Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie", Reihe Philosophische Bibliothek, Bd. 394, Hamburg 1988, S. 37 und 60.

[10] Gottfried Wilhelm von Leibniz, Zeitschrift "Acta Eruditorium", 1682.

[11] Samuel Clarke "Der Briefwechsel mit G. W. Leibniz von 1715/1716", Hg. Ed Dellian, in Philosophische Bibliothek, Band 423, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1990.

[12] Wilhelm H. Westphal "Physik", Berlin 1953, S. 56/57.

[13] F. Herrmann und P. Schmälzle "Simple explanation of a wellknwon collision experiment" in American Journal of Physics, Vol 49, Nr. 8, Aug. 1981, S. 761-764.

[14] F. Herrmann und M. Seitz "Now does the ball-chain work?" in American Journal of Physics, Vol 50 Nr. 11, Nov. 1982, S. 977-981.

[15] Offenlegungsschrift DE 19 632 828 A1 vom 19.2.98 mit der Bezeichnung "Stoßenergiewandler".

[16] James D. Kerwin "Velocity, Momentum and Energy Transmissions in Chain Collisions" in American Journal of Physics, Vol 40, Aug. 1972, S. 1152-1157.

[17] Wilhelm H. Westphal "Physik", Berlin 1953, S. 82/83.

[18] Wilhelm H. Westphal "Physik", Berlin 1953, S. 92.

[19] Siehe beispielsweise Isaac Newton "Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie", Reihe Philosophische Bibliothek, Bd. 394, Hamburg 1988, S. 37-60.

[20] Brockhaus Enzyklopädie, Wiesbaden 1968, Band 5, S. 567.

[21] Wilhelm H. Westphal "Physik", Berlin 1953, S. 268/269.

[22] K.G. und J.S. Denbigh "Entropy in Relation to Incomplete Knolledge", Cambridge 1958, S. 107.

[23] Handbook of Physical Quantities, Hg. Igor S. Grigoriev und Eugenii Z. Meilikhov, CRC-Press 1997, S. 256.

[24] Patentanmeldung P 198 43 150.3 vom 21.9.1998 mit der Bezeichnung "Vorrichtung zur Widerlegung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik".

[25] Wolfgang Bürger "Klick-Klack. Das Geheimnis der schwingenden Stahlkugeln" in Zeitschrift Bild der Wissenschaft 11/1997, S. 100/101 unter der Rubrik "Professor Bürgers Kabinet".

[26] Wolfgang Bürger "Das Geheimnis des Bohrhammers. Wenn ungleiche Kugeln sich stoßen" in Zeischrift Bild der Wissenschaft 5/1998 S. 100/101 unter der Rubrik "Professor Bürgers Kabinet".